Question

设无穷数列{a_n}的前n项和为S_n，且，p为常数，p＜-3．
（1）求证：{a_n}是等比数列，写出{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的公比q=f（p），无穷数列{b_n}满足：b₁=a₁，，求证：是等差数列，并写出{b_n}的通项公式；
（3）设，在（2）的条件下，有，求数列{c_n}的各项和．

Answer

（1）通过，通过推出，即可判断数列是等比数列．
（2）利用数列{an}的公比q=f（p），以及，求出bn，即可．
（3）设，在（2）的条件下，推出，求出p，然后求出数列{cn}的各项和．
【解析】
（1）（3-p）Sn+2pan=3+p，p为常数，且p＜-3，n∈N*．
所以（3-p）Sn-1+2pan-1=3+p，（n≥2），两式相减得：（3-p）an+2pan-2pan-1=0  （n≥2）
即：（3+p）an=2pan-1  （n≥2），所以 （n≥2）--------------------------2分
当n=1时，（3-p）a1+2pa1=3+p，a1=1，故数列{an}是等比数列-----------------------2分
an=（）n-1--------------------------------------------2分
（2）数列{an}的公比q=f（p），q=f（p）=，b1=a1，bn=f（bn-1），（n≥2），
所以bn=⋅=，所以==+，=，b1=a1=1------------------3分
数列{}是等差数列，=1+（n-1）=，所以bn=；----------------2分
（3）因为an-an+1=（）n-1-（）n=（）n-1[1-]=
由=
因为lgan=lg（）n-1=（n-1）lg，
bnlgan=lg（bnlgan）=[lg]=3lg
因为，所以，p=-9----------------3分
所以cn=-（）n-1，故{cn}的各项和为S==-．----------------2分．