Question

已知圆C₁的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l₁：相切．
（1）求圆的标准方程；
（2）设点A为圆上一动点，AN⊥x轴于N，若动点Q满足：，（其中m为非零常数），试求动点Q的轨迹方程C₂；
（3）在（2）的结论下，当时，得到曲线C，与l₁垂直的直线l与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的最大值．

Answer

（1）设圆的半径为r，圆心到直线l1距离为d，则．由此能求出圆的方程．
（2）设动点Q（x，y），A（x，y），AN⊥x轴于N，N（x，0）由题意，（x，y）=m（x，y）+（1-m）（x，0），所以，由此能求出动点Q的轨迹方程．
（3）时，曲线C方程为，设直线l的方程为y=-x+b．设直线l与椭圆交点B（x1，y1），D（x2，y2），联立方程，得7x2-8bx+4b2-12=0．由此能求出△OBD面积的最大值．
【解析】
（1）设圆的半径为r，圆心到直线l1距离为d，则，2分
圆C1的方程为x2+y2=4，2分
（2）设动点Q（x，y），A（x，y），AN⊥x轴于N，N（x，0）
由题意，（x，y）=m（x，y）+（1-m）（x，0），所以，2分
即：，将代入x2+y2=4，得，3分
（3）时，曲线C方程为，设直线l的方程为y=-x+b
设直线l与椭圆交点B（x1，y1），D（x2，y2）
联立方程得7x2-8bx+4b2-12=0，1分
因为△=48（7-b2）＞0，解得b2＜7，且，2分
∵点O到直线l的距离，．
∴=，2分
（当且仅当b2=7-b2即时取到最大值），1分
∴△OBD面积的最大值为．1分．