Question

若y=f（x）是定义在R上的函数，且满足：①f（x）是偶函数；②f（x-1）是奇函数，且当0＜x≤1时，f（x）=lgx，则方程f（x）=2012在区间（-6，10）内的所有实数根之和为（ ）
A．8
B．12
C．16
D．24

Answer

由f（x）是偶函数说明函数图象关于y轴对称，再由f（x-1）是奇函数说明函数图象关于点（-1，0）对称，因此可以证明出函数的周期为4．画出函数f（x）的图象，只要找出函数f（x）的图象与y=2012在区间（-6，10）内交点的情况，就不难找到f（x）=2012在区间（-6，10）内的所有实根之和了．
【解析】
由①知f（-x）=f（x），由②知f（-x-1）=-f（x-1），即函数图象关于（-1，0）对称；
由①②得：f（-x-2）=-f（x）=-f（-x）
∴f（x-2）=-f（x），∴f（x-4）=-f（x-2）-f（x）
∴函数f（x）的最小正周期为4
∵当0＜x≤1时，f（x）=lgx，∴函数f（x）在一个周期（-2，2）上的图象如图：
由图象数形结合可知，当x∈（-6，6）时，即三个连续周期上，方程f（x）=2012有6个关于y轴对称的根，其和为0
当x∈（6，10）时，方程f（x）=2012有2个关于x=8对称的根，其和为2×8=16
故方程f（x）=2012在区间（-6，10）内的所有实数根之和为0+16=16
故选C