Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）的图象过原点，且与平行x轴的直线相切于点（1，）．
（I）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若常数m＞0，求函数f（x）在区间[-m，m]上的最大值．

Answer

（I）根据函数f（x）=x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R）的图象过原点，可得f（0）=c=0．求导函数，利用与平行x轴的直线相切于点（1，），即可求得函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）f（x）=x3x2，f′（x）=3x2-3x=3x（x-1），确定函数的单调性与极大值，将端点函数值与极大值比较，进行分类讨论，即可求得函数f（x）在区间[-m，m]上的最大值．
【解析】
（I）∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R）的图象过原点，
∴f（0）=c=0
求导函数可得：f′（x）=3x2+2ax+b
∵与平行x轴的直线相切于点（1，）．
∴f（1）=1+a+b=，f′（1）=3+2a+b=0
∴a=-，b=0
∴f（x）=x3x2
（Ⅱ）f（x）=x3x2，f′（x）=3x2-3x=3x（x-1）
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1；令f′（x）＜0，可得0＜x＜1；
∴函数在（-∞，0），（1，+∞）上单调增；在（0，1）上单调减，
∴函数在x=0处取得极大值0，
令f（x）=x3x2=0，可得x=0或x=
∴0＜m＜时，f（m）＜0，函数在x=0处取得最大值0；
m≥时，f（m）≥0，函数在x=m处取得最大值m3m2．