Question

已知：曲线C上任意一点到点F（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等．
（1）求曲线C的方程；
（2）如果直线y=k（x-1）交曲线C于A、B两点，是否存在实数k，使得以AB为直径的圆经过原点O？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）利用曲线C上任意一点到点F（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等，可知曲线C的轨迹是以F（1，0）为焦点的抛物线，从而可求曲线C的方程；
（2）将y=k（x-1），代入y2=4x，得k2x2-2（k2+2）x+k2=0，利用韦达定理，可得x1x2+y1y2=-3≠0，从而可知以AB为直径的圆不经过原点O．
【解析】
（1）∵曲线C上任意一点到点F（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等．
∴曲线C的轨迹是以F（1，0）为焦点的抛物线
∴曲线C的方程为y2=4x；…（4分）
（2）将y=k（x-1），代入y2=4x，得k2x2-2（k2+2）x+k2=0…（8分）
记A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1x2=1，x1+x2=，…（10分）
∴y1y2=k2（x1-1）（x2-1）=-4 …（12分）
∴x1x2+y1y2=-3≠0
∴
∴以AB为直径的圆不经过原点O，
∴不存在满足条件的k．…（14分）