Question

将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在整个下落过程中它将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是．
（Ⅰ）求小球落入B袋中的概率P（B）；
（Ⅱ）在容器入口处依次放入2个小球，记落入A袋中的小球个数为ξ，试求ξ的分布列和ξ的数学期望Eξ．

Answer

（I）小球落入B袋中包含两种情形当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下时，然后求出两种情形的概率和即可；
（II）记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A与事件B为对立事件，从而求出事件A的概率，显然，ξ的取值为0、1、2，列出分布列，根据数学期望的公式解之即可．
【解析】
（Ⅰ）当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下时小球才会落入B袋中，故．                                     …（5分）
（Ⅱ）记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A与事件B为对立事件，从而．                     …（8分）
显然，ξ的取值为0、1、2，且；；．ξ的分布列为

ξ 1 2
p

故．…（12分）
（或由随机变量，故．）