Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），⊙O：x²+y²=b²，点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O上的动点．
（1）若P（-1，），PA是⊙O的切线，求椭圆C的方程；
（2）是否存在这样的椭圆C，使得是常数？如果存在，求C的离心率，如果不存在，说明理由．

Answer

（1）由P（-1，）在⊙O：x2+y2=b2上可求b，由PA是⊙O的切线可得，PA⊥OP即•=0，根据向量的数量积可求b，进而可求椭圆C的方程
（2）设F（c，0），由c2=a2-b2可求c，P（x1，y1），要使得是常数，则有（x1+a）2+y12=λ[（x1+c）2+y12]
比较两边可得c，a的关系，结合椭圆的离心率的范围可求
【解析】
（1）∵P（-1，）在⊙O：x2+y2=b2上，
∴b2=4．（2分）
又∵PA是⊙O的切线
∴PA⊥OP
∴•=0
即（-1，）•（-1+a，）=0，解得a=4．
∴椭圆C的方程为（5分）
（2）∵c2=a2-b2，A（-a，0），F（-c，0），P（x1，y1）
使得是常数，则有（x1+a）2+y12=λ[（c+x1）2+y12]（λ是常数）
∵x2+y2=b2
即b2+2ax1+a2=λ（b2+2cx1+c2），（8分）
比较两边，b2+a2=λ（b2+c2），a=λc，（10分）
故cb2+ca2=a（b2+c2），即ca2-c3+ca2=a3，
即e3-2e+1=0，（12分）
（e-1）（e2+e-1）=0，符合条件的解有e=，
即这样的椭圆存在，离心率为．（16分）