Question

对数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．规定{△²a_n}为{a_n}的二阶差分数列，其中△²a_n=△a_n+1-△a_n．
（Ⅰ）已知数列{a_n}的通项公式，试判断{△a_n}，{△²a_n}是否为等差或等比数列，并说明理由；
（Ⅱ）若数列{a_n}首项a₁=1，且满足，求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（Ⅰ）根据数列{an}的通项公式，结合新定义，可判定{△an}是首项为4，公差为2的等差数列，不是等比数列，{△2an}是首项为2，公差为0的等差数列，也是首项为2，公比为1的等比数列；
（Ⅱ）先猜想，再用数学归纳法进行证明，证题时要利用到归纳假设．
【解析】
（Ⅰ），
∵△an+1-△an=2，且△a1=4，（2分）
∴{△an}是首项为4，公差为2的等差数列，不是等比数列．   （3分）
∵△2an=2（n+1）+2-（2n+2）=2，
∴由定义知，{△2an}是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列．  （6分）
（Ⅱ），即，即，
又△an=an+1-an，∴．（9分）
∵a1=1，∴，，，
猜想．（10分）
证明：ⅰ）当n=1时，；
ⅱ）假设n=k时，则．
当n=k+1时，．结论也成立．
∴由ⅰ）、ⅱ）可知，．（12分）