Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PB⊥平面ABC，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC=2，∠PAB=45°，点D、E、F分别为AC、AB、BC的中点．
（I）求证：EF⊥PD；
（Ⅱ）求三棱锥D-PEF的体积；
（Ⅲ）求二面角E-PF-B的正切值．

Answer

（I）连接BD，证明PB⊥平面ABC，从而PD⊥AC，根据E、F分别为AB、BC的中点，可得EF∥AC，从而可得EF⊥PD；
（Ⅱ）利用等体积转化VD-PEF=VP-DEF，即可求得三棱锥D-PEF的体积；
（Ⅲ）过B作BM⊥PF于点M，连接EM，证明∠EMB为二面角E-PF-B的平面角，再在直角△PBF中，可求二面角E-PF-B的正切值．
【解析】
（I）证明：连接BD，在△ABC中，∠ABC=90°
∵AB=BC，点D为AC的中点．
∴BD⊥AC
∵PB⊥平面ABC
即BD为PD在平面ABC内的射影
∴PD⊥AC
∵E、F分别为AB、BC的中点．
∴EF∥AC
∴EF⊥PD；
（Ⅱ）由题有，PB⊥面DEF，∵∠PAB=45°，∴PB=2
∵VD-PEF=VP-DEF
∴=
∴三棱锥D-PEF的体积为；
（Ⅲ）过B作BM⊥PF于点M，连接EM
∵AB⊥PB，AB⊥BC，PB∩BC=B
∴AB⊥平面PBC，即BM为EM在平面PBC内的射影
∴EM⊥PF，
∴∠EMB为二面角E-PF-B的平面角
∵直角△PBF中，BM=
∴tan=
即二面角E-PF-B的正切值为