Question

选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为为参数）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂的极坐标方程为P=6cosφ．射线l的极坐标方程为θ=α，l与C₁的交点为A，l与C₂除极点外一个交点为B．当α=0时，|AB|=4．
（Ⅰ）求C₁，C₂直角坐标方程；
（Ⅱ）设C₁与y轴正半轴交点为D，当时，求直线BD的参数方程．

Answer

（Ⅰ）曲线C2的极坐标方程为ρ=6cosφ可化为ρ2=6ρcosφ，直角坐标方程为x2+y2-6x=0．曲线C1的直角坐标方程为，当α=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（a，0），（6，0），由|AB|=4，求得a=2，得出C2直角坐标方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得D（0，1），可求B（3，3），|DB|=，，直线BD的参数方程可求．
【解析】
（Ⅰ）曲线C2的极坐标方程为ρ=6cosφ可化为ρ2=6ρcosφ，
直角坐标方程为x2+y2-6x=0．
曲线C1的参数方程为为参数），易消去φ得
曲线C1的直角坐标方程为，
当α=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（a，0），（6，0），
∵|AB|=4，∴a=2．
∴C2直角坐标方程
（Ⅱ）当时，由得B（3，3）或B（0，0），又B不为极点，∴B（3，3），由（Ⅰ）得D（0，1）
直线BD的参数方程为（t为参数），因为经过B（3，3），∴|DB|=，∴
∴直线BD的参数方程为．