Question

选修4-5：不等式选讲
已知对于任意非零实数m，不等式|4m-1|+|1-m|≥|m|（|2x-3|-|x-1|）恒成立，求实数x的取值范围．

Answer

分析题目已知不等式|4m-1|+|1-m|≥|m|（|2x-3|-|x-1|）恒成立，可变形为|2x-3|-|x-1|≤恒成立，而≥3．即可得到|2x-3|-|x-1|≤3，分类讨论去绝对值号即可求得x的取值范围．
【解析】
∵对于任意非零实数m，不等式|4m-1|+|1-m|≥|m|（|2x-3|-|x-1|）恒成立，
∴|2x-3|-|x-1|≤恒成立，而≥3．
∴只需|2x-3|-|x-1|≤3．
①当x≤1时，|2x-3|-|x-1|=3-2x-（1-x）≤3，即x≥-1，所以-1≤x≤1；
②当1＜x＜时，|2x-3|-|x-1|=3-2x-（x-1）≤3，即x≥，所以1＜x＜；
③当x≥时，|2x-3|-|x-1|=2x-3-x+1≤3，即x≤5，所以≤x≤5．
综上所述，x的取值范围为[-1，5]．