Question

已知：函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间上有最大值4，最小值1，设函数．
（1）求a、b的值及函数f（x）的解析式；
（2）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在时恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）由二次函数g（x）=ax2-2ax+1+b的对称轴为x=1，由题意得，或 ，解得a、b的值，即可得到函数f（x）的解析式．
（2）不等式即 ，在时，设，则k≤（t-1）2，
根据（t-1）2min＞0，求得实数k的取值范围．
【解析】
（1）由于二次函数g（x）=ax2-2ax+1+b的对称轴为x=1，
由题意得：1°，解得．
或  2°，解得．（舍去） 
∴a=1，b=0…（6分）
故g（x）=x2-2x+1，． …（7分）
（2）不等式f（2x）-k•2x≥0，即，∴．…（10分）
在时，设，∴k≤（t-1）2，
由题意可得，函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，故t≠1，即 ≤t≤2，且t≠1．
∵（t-1）2min＞0，∴k≤0，即实数k的取值范围为（-∞，0]．…（14分）