Question

已知：曲线C上任意一点到点的距离与到直线x=-1的距离相等．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点作直线交曲线C于M，N两点，若|MN|长为，求直线MN的方程；
（3）设O为坐标原点，如果直线y=k（x-1）交曲线C于A、B两点，是否存在实数k，使得？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）根据曲线C上任意一点到点的距离与到直线x=-1的距离相等，可知曲线为抛物线，焦点在x轴上，且p=2，从而可得曲线C的方程；
（2）当直线MN的斜率不存在时，不合题意；当直线MN的斜率存在时，设MN：y=k（x-1），代入y2=4x，利用|MN|长为，建立方程，即可求得直线MN的方程；
（3）将y=k（x-1），代入y2=4x，得k2x2-2（k2+2）x+k2=0，验证x1x2+y1y2=-3≠0，故不存在满足条件的k．
【解析】
（1）∵曲线C上任意一点到点的距离与到直线x=-1的距离相等
∴曲线为抛物线，焦点在x轴上，且p=2
∴曲线C的方程为y2=4x…（4分）
（2）当直线MN的斜率不存在时，不合题意．…（5分）
当直线MN的斜率存在时，设MN：y=k（x-1），代入y2=4x，得k2x2-2（k2+2）x+k2=0…（7分）
记M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1x2=1，，
∵|MN|长为，
∴，
解得…（10分）
∴直线MN：…（11分）
（3）将y=k（x-1），代入y2=4x，得k2x2-2（k2+2）x+k2=0
记A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1x2=1，，…（13分）∴…（15分）
∴x1x2+y1y2=-3≠0，
∴，∴不存在满足条件的k．…（18分）