Question

已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则△ABC面积的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

利用同角三角函数间的基本关系化简已知等式的左边，利用正弦定理化简已知的等式右边，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0，可得出cosA的值，然后利用余弦定理表示出cosA，根据cosA的值，得出bc=b2+c2-a2，再利用正弦定理表示出a，利用特殊角的三角函数值化简后，再利用基本不等式可得出bc的最大值，进而由sinA的值及bc的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．
【解析】
由r=1，利用正弦定理可得：c=2rsinC=2sinC，b=2rsinB=2sinB，
∵tanA=，tanB=，
∴变形为：==，
∴sinAcosB=cosA（2sinC-sinB）=2sinCcosA-sinBcosA，
即sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，
∵sinC≠0，∴cosA=，即A=，
∴cosA==，
∴bc=b2+c2-a2=b2+c2-（2rsinA）2=b2+c2-3≥2bc-3，
∴bc≤3（当且仅当b=c时，取等号），
∴△ABC面积为S=bcsinA≤×3×=，
则△ABC面积的最大值为．
故选D