Question

如图，六棱锥P-ABCDEF的底面ABCDEF是边长为l的正六边形，顶点P在底面上的射影是BF的中点O．
（1）求证：PA⊥BF；
（2）若直线PB与平面ABCDEF所成的角为，求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer

（1）利用线面垂直证明线线垂直，即证明BF⊥平面PAO；
（2）以OB，OD，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，用坐标表示点，用坐标表示向量，进而求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式可求二面角A-PB-D的余弦值．
（1）证明：连接OA，则∵AB=AF，BF的中点O，∴AO⊥BF
∵顶点P在底面上的射影是BF的中点O
∴PO⊥BF
∵AO∩PO=O
∴BF⊥平面PAO
∵PA⊂平面PAO
∴PA⊥BF；
（2）【解析】
∵顶点P在底面上的射影是BF的中点O
∴∠PBO为直线PB与平面ABCDEF所成的角
∵直线PB与平面ABCDEF所成的角为，
∴∠PBO=
以OB，OD，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，-，0），B（，0，0），P（0，0，），D（0，，0）
∴，，
设平面APB的法向量为，则，
∴，领z=-1，可得
同理可得平面DPB的法向量为
设二面角A-PB-D的平面角为α，则