Question

已知数列{a_n}满足对任意的n∈N^*，成立，解决下列问题．
（Ⅰ）若a₃是2a₁、a₄的等比中项，求a₁的值；
（Ⅱ）求证：数列{}为等差数列；
（Ⅲ）若a₁=2，数列{}的前n项和为S_n，求证．

Answer

（Ⅰ）直接把n=3，2，1代入，再借助于a3是2a1、a4的等比中项，即可求出a1的值；
（Ⅱ）先假设存在一个实数λ符合题意，得到   必为与n无关的常数，整理   即可求出实数λ，进而求出数列{an}的通项公式．
（Ⅲ）通过（Ⅱ），求出数列的通项公式，求出数列的前n项和，利用放缩法扩大数列的和，通过无穷数列的求和，证明结果．
【解析】
（Ⅰ）由，a3是2a1、a4的等比中项，a32=2a1•a4，
，所以同理可得，
所以，解得a1=-16．
（Ⅱ）由，可知，所以，
所以数列{}是以为首项以2为公差的等差数列．
（Ⅲ）若a1=2，数列{}的首项为1，公差为2，所以，
所以，
前n项和为Sn=1×2+3×22+5×23+…+（2n-1）×2n，①
则2Sn=1×22+3×23+…+（2n-3）×2n+（2n-1）×2n+1，②
①-②得：-Sn=2+2（22+…+2n）-（2n-1）×2n+1=2+-（2n-1）×2n+1．
Sn=（2n-3）×2n+1+6．
=，
=
=++…
＜=1＜．