Question

函数f（x）满足f（0）=0，其导函数f'（x）的图象如图，则f（x）在[-2，1]上的最小值为（ ）

A．-1
B．0
C．2
D．3

Answer

根据导数的符号可得函数f（x）在（-∞，-1）上是减函数，在（-1，+∞）上是增函数，故函数f（x）在[-2，1]上的最小值为f（-1）．导函数f'（x）是一条直线，求出它的方程，可得函数f（x）的解析式，从而求出f（-1）的值．
【解析】
由导数的图象可得，当x＜-1时，导函数f'（x）＜0，当x＞-1时，导函数f'（x）＞0，
故函数f（x）在（-∞，-1）上是减函数，在（-1，+∞）上是增函数．
故函数f（x）在[-2，1]上的最小值为f（-1）．
由于导函数f'（x）是一条直线，其方程为 y=f'（x）=2x+2，
故f（x）=x2+2x+c，再由f（0）=0可得c=0，
∴f（x）=x2+2x，f（-1）=-1，
即函数f（x）在[-2，1]上的最小值为f（-1）=-1，
故选A．