Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，底面是边长为2的正三角形，M、N、G分别是棱长CC₁、AB、BC的中点．
（1）求证：CN∥平面AMB₁；
（2）若CC₁=2，求证：B₁M⊥平面AMG．

Answer

（1）连A1B，与AB1相交于P，则点P为A1B的中点，易证四边形MCNP为矩形，利用线面平行的判定定理即可；
（2）首先证明AG⊥B1M，再由勾股定理证得AM⊥B1M，利用线面垂直的判定定理即可证得B1M⊥平面AMG．
【解析】
（1）证明：连A1B，与AB1相交于P，则点P为A1B的中点，连MP，PN则PNBB1=MC，又CC1⊥底面ABC，
∴四边形MCNP为矩形，
∴CN∥MP，MP⊂平面AMB1，CN⊄平面AMB1，
∴CN∥平面AMB1；
（2）∵CC1⊥底面ABC，CC1⊂平面BCC1B1，
∴底面ABC⊥平面BCC1B1，
又∵底面ABC是边长为2的正三角形，G是BC的中点，
∴AG⊥BC，底面ABC∩平面BCC1B1=BC，
∴AG⊥平面BCC1B1，B1M⊂平面BCC1B1，
∴AG⊥B1M①．
∵CC1=2，△ABC是边长为2的正三角形，在△AMB1中，|B1M|=|AM|==，
|AB1|===2，
∴=+|AM|2，
∴AM⊥B1M②而AM∩AG=A，
∴B1M⊥平面AMG．