Question

中心在原点O，焦点F₁、F₂在x轴上的椭圆E经过C（2，2），且．
（1）求椭圆E的方程．
（2）垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程．

Answer

（1）设F1（-c，0），F2（c，0），则，由，知4-c2+4=2，即c2=6．由此能求出椭圆E的方程．
（2）依题意，直线OC斜率为1，由此设直线l的方程为y=-x+m，由，得3x2-4mx+2m2-12=0，记A（x1，y1），B（x2，y2），则，，圆P的圆心为（），半径r==，当圆P与y轴相切时，r=||，由此能求出直线l的方程和圆P的方程．
【解析】
（1）设F1（-c，0），F2（c，0），则，
∵，∴4-c2+4=2，
∴c2=6．
设椭圆E的方程为，
把C（2，2）代入，得，
整理，得a4-14a2+24=0，
解得a2=12，或a2=2（舍）
∴椭圆E的方程为．
（2）依题意，直线OC斜率为1，由此设直线l的方程为y=-x+m，
由，得3x2-4mx+2m2-12=0，
由△=16m2-12（2m2-12）=8（18-m2）＞0，
得m2＜18．
记A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
圆P的圆心为（），
半径r==，
当圆P与y轴相切时，r=||，
则，
即，解得m2=9＜18，
当m=3时，直线l方程为y=-x+3，
此时，x1+x2=4，圆心为（2，1），半径为2，
圆P的方程为（x-2）2+（y-1）2=4，
同理，当m=-3时，直线l方程为y=-x-3，
圆P的方程为（x+2）2+（y+1）2=4．