Question

选修4-5：不等式选讲
设f（x）=2|x|-|x+3|．
（1）求不等式f（x）≤7的解集S；
（2）若关于x的不等式f（x）+|2t-3|≤0有解，求参数t的取值范围．

Answer

（1）通过对x的取值范围分类讨论将绝对值符号去掉，作出其图象即可得到所求的解集S；
（2）f（x）+|2t-3|≤0有解⇔f（x）min+|2t-3|≤0有解，从而可得答案．
【解析】
（1）f（x）=，如图，函数y=f（x）的图象与直线y=7相交于横坐标为x1=-4，x2=10的两点，
由此得S=[-4，10]
（2）由（1）知，f（x）的最小值为-3，则关于x的不等式f（x）+|2t-3|≤0有解，必须且只需-3+|2t-3|≤0，解得0≤t≤3，
∴t的取值范围是[0，3]．