Question

已知A，B是△ABC的两个内角，，（其中是互相垂直的单位向量），若．
（1）试问tanA•tanB是否为定值，若是定值，请求出，否则请说明理由；
（2）求tanC的最大值，并判断此时三角形的形状．

Answer

（1）先利用向量数量积的运算性质=，将转化为三角方程，再利用二倍角公式和两角和差的余弦公式将方程化简即可求得tanA•tanB的值；
（2）求tanC的最大值即求tan（A+B）的最小值，利用两角和的正切公式及（1）中结论，即可利用均值定理求得tan（A+B）的最小值，利用均值定理等号成立的条件，即可求得此时三角形的形状
【解析】
（1）tanA•tanB为定值，证明如下：
由=，得=
∴1+cos（A+B）+=
即2cos（A+B）=cos（A-B），即cosAcosB=3sinAsinB
∴tanAtanB=
（2）∵tanAtanB=＞0，∴tanA＞0，tanB＞0
∴tan（A+B）==（tanA+tanB）≥×2=
∴tan（A+B）≥，即-tanC≥
∴tanC≤-
当tanC=-时，，即tanA=tanB=
∴A=B=30°
∴tanC的最大值为-，此时△ABC为等腰三角形