Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，CB=2，AA₁=2，∠ACB=60°，E、F分别是A₁C₁，BC的中点．
（1）证明：平面AEB⊥平面BB₁C₁C；
（2）证明：C₁F∥平面ABE；
（3）设P是BE的中点，求三棱锥P-B₁C₁F的体积．

Answer

（1）用勾股定理证明AB⊥BC，由直棱锥的性质可得 AB⊥BB1 ，证明AB⊥面BB1C1C，从而得到ABE⊥面BB1C1C．
（2）取AC的中点M，由FM∥面ABE，C1M∥面ABE，从而面ABE∥面FMC1，得到C1F∥面AEB．
（3）在棱AC上取中点G，在BG上取中点O，则PO∥BB1，过O作OH∥AB交BC与H，则OH为棱锥的高，求出OH 值和
△B1C1F的面积，代入体积公式进行运算．
【解析】
（1）证明：在△ABC中，∵AC=2BC=4，∠ACB=60°，∴，∴AB2+BC2=AC2，
∴AB⊥BC．   由已知AB⊥BB1，∴AB⊥面BB1C1C，又∵AB⊂面ABE，故ABE⊥面BB1C1C．
（2）证明：取AC的中点M，连接C1M，FM，在△ABC中，FM∥AB，∴直线FM∥面ABE．
在矩形ACC1A1中，E、M都是中点，∴C1M∥AE，∴直线C1M∥面ABE，
又∵C1M∩FM=M，∴面ABE∥面FMC1，故C1F∥面AEB．
（3）在棱AC上取中点G，连接EG、BG，在BG上取中点O，
连接PO，则PO∥BB1，∴点P到面BB1C1C的距离等于点O到平面BB1C1C的距离．
过O作OH∥AB交BC与H，则OH⊥平面BB1C1C，在等边△BCG中，可知CO⊥BG，
∴BO=1，在Rt△BOC中，可得 ，∴．