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在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=4,CB=2,AA1=2,∠ACB=60...

manfen5.com 满分网在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=4,CB=2,AA1=2,∠ACB=60°,E、F分别是A1C1,BC的中点.
(1)证明:平面AEB⊥平面BB1C1C;
(2)证明:C1F∥平面ABE;
(3)设P是BE的中点,求三棱锥P-B1C1F的体积.
(1)用勾股定理证明AB⊥BC,由直棱锥的性质可得 AB⊥BB1 ,证明AB⊥面BB1C1C,从而得到ABE⊥面BB1C1C. (2)取AC的中点M,由FM∥面ABE,C1M∥面ABE,从而面ABE∥面FMC1,得到C1F∥面AEB. (3)在棱AC上取中点G,在BG上取中点O,则PO∥BB1,过O作OH∥AB交BC与H,则OH为棱锥的高,求出OH 值和 △B1C1F的面积,代入体积公式进行运算. 【解析】 (1)证明:在△ABC中,∵AC=2BC=4,∠ACB=60°,∴,∴AB2+BC2=AC2, ∴AB⊥BC.   由已知AB⊥BB1,∴AB⊥面BB1C1C,又∵AB⊂面ABE,故ABE⊥面BB1C1C. (2)证明:取AC的中点M,连接C1M,FM,在△ABC中,FM∥AB,∴直线FM∥面ABE. 在矩形ACC1A1中,E、M都是中点,∴C1M∥AE,∴直线C1M∥面ABE, 又∵C1M∩FM=M,∴面ABE∥面FMC1,故C1F∥面AEB. (3)在棱AC上取中点G,连接EG、BG,在BG上取中点O, 连接PO,则PO∥BB1,∴点P到面BB1C1C的距离等于点O到平面BB1C1C的距离. 过O作OH∥AB交BC与H,则OH⊥平面BB1C1C,在等边△BCG中,可知CO⊥BG, ∴BO=1,在Rt△BOC中,可得 ,∴.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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