Question

设数列设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n²-2S_n-a_ns_n+1=0，n=1，2，3…
（1）求a₁，a₂；
（2）求证：数列{}是等差数列，并求S_n的表达式．

Answer

（1）当n=1时，由已知得a12-2a1-a12+1=0，解得．同理，可解得．
（2）由题设Sn2-2Sn+1-anSn=0．an=Sn-Sn-1，所以Sn-1Sn-2Sn+1=0.，
，由此能够证明数列{}是等差数列，并能求出Sn的表达式．
【解析】
（1）当n=1时，由已知得a12-2a1-a12+1=0，
解得．
同理，可解得．（4分）
（2）证明：由题设Sn2-2Sn+1-anSn=0．当n≥2，n∈N*时，an=Sn-Sn-1，
代入上式，得Sn-1Sn-2Sn+1=0．
∴，，
∴，
∴是首项为，公差为-1的等差数列（10分），
∴，
∴（12分）