Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为1，高为2，M为线段AB的中点．
求：（1）三棱锥C₁-MBC的体积；
（2）异面直线CD与MC₁所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer

（1）连接CM，根据M为AB中点，且正方形ABCD边长为1，得到△BCM的面积为S=S正方形ABCD=．因为CC1⊥平面ABCD，是三棱锥C1-MBC的高，所以利用锥体体积公式，可得三棱锥C1-MBC的体积；
（2）连接BC1，正方形ABCD中，因为CD∥AB，所以∠C1MB（或其补角）为异面直线CD与MC1所成的角．Rt△MC1B中，可算出BC1=，而MB=AB=，利用直角三角形中三角函数的定义，得到tan∠C1MB==，所以异面直线CD与MC1所成角为arctan．
【解析】
（1）连接CM，
∵正方形ABCD中，M为AB中点，且边长为1，
∴△BCM的面积为S=S正方形ABCD=．
又∵CC1⊥平面ABCD，
∴CC1是三棱锥C1-MBC的高，
∴三棱锥C1-MBC的体积为：VC1-MBC=××2=；
（2）连接BC1
∵CD∥AB，
∴∠C1MB（或其补角）为异面直线CD与MC1所成的角．
∵AB⊥平面B1C1CB，BC1⊂平面B1C1CB，
∴AB⊥BC1．
Rt△MC1B中，BC1==，MB=AB=
∴tan∠C1MB==
所以异面直线CD与MC1所成角为arctan．