Question

已知数列{a_n}、{b_n}、{c_n}满足．
（1）设c_n=3n+6，{a_n}是公差为3的等差数列．当b₁=1时，求b₂、b₃的值；
（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N^*，均有b_n≥b_k；
（3）设，．当b₁=1时，求数列{b_n}的通项公式．

Answer

（1）先根据条件得到数列{bn}的递推关系式，即可求出结论；
（2）先根据条件得到数列{bn}的递推关系式；进而判断出其增减性，即可求出结论；
（3）先根据条件得到数列{bn}的递推关系式；再结合叠加法以及分类讨论分情况求出数列{bn}的通项公式，最后综合即可．
【解析】
（1）∵an+1-an=3，
∴bn+1-bn=n+2，
∵b1=1，
∴b2=4，b3=8．
（2）∵．
∴an+1-an=2n-7，
∴bn+1-bn=，
由bn+1-bn＞0，解得n≥4，即b4＜b5＜b6…；
由bn+1-bn＜0，解得n≤3，即b1＞b2＞b3＞b4．
∴k=4．
（3）∵an+1-an=（-1）n+1，
∴bn+1-bn=（-1）n+1（2n+n）．
∴bn-bn-1=（-1）n（2n-1+n-1）（n≥2）．
故b2-b1=21+1；
b3-b2=（-1）（22+2），
…
bn-1-bn-2=（-1）n-1（2n-2+n-2）．
bn-bn-1=（-1）n（2n-1+n-1）．
当n=2k时，以上各式相加得
bn-b1=（2-22+…-2n-2+2n-1）+[1-2+…-（n-2）+（n-1）]
=+=+．
∴bn==++．
当n=2k-1时，

=++-（2n+n）
=--+
∴bn=．