Question

定义向量=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为=（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．
（1）设g（x）=3sin（x+）+4sinx，求证：g（x）∈S；
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x-2）²+y²=1上一点，向量的“相伴函数”f（x）在x=x处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x的取值范围．

Answer

（1）先利用诱导公式对其化简，再结合定义即可得到证明；
（2）先根据定义求出其相伴向量，再代入模长计算公式即可；
（3）先根据定义得到函数f（x）取得最大值时对应的自变量x；再结合几何意义求出的范围，最后利用二倍角的正切公式即可得到结论．
【解析】
（1）g（x）=3sin（x+）+4sinx=4sinx+3cosx，
其‘相伴向量’=（4，3），g（x）∈S．
（2）h（x）=cos（x+α）+2cosx
=（cosxcosα-sinxsinα）+2cosx
=-sinαsinx+（cosα+2）cosx
∴函数h（x）的‘相伴向量’=（-sinα，cosα+2）．
则||==．
（3）的‘相伴函数’f（x）=asinx+bcosx=sin（x+φ），
其中cosφ=，sinφ=．
当x+φ=2kπ+，k∈Z时，f（x）取到最大值，故x=2kπ+-φ，k∈Z．
∴tanx=tan（2kπ+-φ）=cotφ=，
tan2x===．
为直线OM的斜率，由几何意义知：∈[-，0）∪（0，]．
令m=，则tan2x=，m∈[-，0）∪（0，}．
当-≤m＜0时，函数tan2x=单调递减，∴0＜tan2x≤；
当0＜m≤时，函数tan2x=单调递减，∴-≤tan2x＜0．
综上所述，tan2x∈[-，0）∪（0，]．