Question

甲、乙二人进行射击比赛．甲先射击，乙后射击，二人轮流进行．已知甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，若某人射击时出现连续两次不中则被停止射击，或若两人均未出现连续不中，则各射击5次后比赛也停止．
（Ⅰ）求甲恰在第三次射击后停止比赛而乙尚未停止比赛的概率．
（Ⅱ）求甲停止比赛时，甲所进行的比赛次数ξ的数学期望．

Answer

（Ⅰ）记“甲恰在第二次射击后停止比赛布乙尚未停止比赛”为事件A，由P（A）=•能求出甲恰在第三次射击后停止比赛而乙尚未停止比赛的概率．
（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为2，3，4，5，分别求出P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），P（ξ=5），由此能求出ξ的分布列和Eξ．
【解析】
（Ⅰ）记“甲恰在第二次射击后停止比赛布乙尚未停止比赛”为事件A，
则P（A）=•=．
（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为2，3，4，5，
P（ξ=2）=，
P（ξ=3）==，
P（ξ=4）=+=，
P（ξ=5）=+3•+=，
∴ξ的分布列为：

 ξ  2  3  4  5
 P        

故Eξ=+++=．