Question

甲、乙、丙三个同学同时报名参加某重点高校2012年自主招生，高考前自主招生的程序为面试和文化测试，只有面试通过后才能参加文化测试，文化测试合格者即获得自主招生入选资格．因为甲、乙、丙三人各有优势，甲、乙、丙三人面试通过的概率分别为0.5，0.6，0.4；面试通过后，甲、乙、丙三人文化测试合格的概率分别为0.6，0.5，0.75．
（Ⅰ）求甲、乙、丙三人中只有一人通过面试的概率；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三人各自获得自主招生入选资格的概率．
（Ⅲ）求甲、乙、丙三人中获得自主招生入选资格的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望．

Answer

（Ⅰ）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，甲、乙、丙三人中只有一人通过包括三种情况，这三种情况是互斥的，根据相互独立事件同时发生的概率写出每一种情况发生的概率，得到结果．
（Ⅱ）根据相互独立事件同时发生的概率公式，可求甲、乙、丙三人各自获得自主招生入选资格的概率；
（Ⅲ）甲、乙、丙三人中获得自主招生入选资格的人数为ξ，ξ的可能取值是0，1，2，3，结合变量对应的事件和相互独立事件同时发生的概率，写出变量的分布列和期望．
【解析】
（Ⅰ）由题意知，甲、乙、丙三人中只有一人通过包括三种情况，这三种情况是互斥的，
分别记甲、乙、丙通过审核为事件A1，A2，A3，则
P=P（A1••）+P（•A2•）+P（••A3）=0.5×0.4×0.6+0.5×0.6×0.6+0.5×0.4×0.4=0.38
（Ⅱ）∵甲、乙、丙三人面试通过的概率分别为0.5，0.6，0.4；面试通过后，甲、乙、丙三人文化测试合格的概率分别为0.6，0.5，0.75，
∴甲获得自主招生入选资格的概率为0.5×0.6=0.3；
乙获得自主招生入选资格的概率为0.6×0.5=0.3
丙获得自主招生入选资格的概率为0.4×0.75=0.3
（Ⅲ）甲、乙、丙三人中获得自主招生入选资格的人数为ξ，ξ的可能取值是0，1，2，3，
P（ξ=0）=（1-0.3）3=0.343；P（ξ=1）=3×（1-0.3）2×0.3=0.441；P（ξ=2）=3×0.32×0.7=0.189
P（ξ=3）=0.33=0.027
∴ξ的分布列是

 ξ  1  2  3
 P  0.343  0.441  0.189  0.027

∴E（ξ）=1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9