Question

数列{a_n}，{b_n}（n=1，2，3…）由下列条件确定：①a₁＜0，b₁＞0；②当k≥2时，a_k与b_k满足：当a_k-1+b_k-1≥0时，a_k=a_k-1，；当a_k-1+b_k-1＜0时，，b_k=b_k-1．
（Ⅰ）若a₁=-1，b₁=1，求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）在数列{b_n}中，若，用a₁，b₁表示b_k（k∈[1，2，…，s]）并求．

Answer

（1）根据a1+b1≥0，可得 a2=a1=-1，b2==0；根据a2+b2=-1＜0，可得 a3 和 b3 的值；再根据 a3+b3=-＜0，求得a4= 的值．
（2）通过分类讨论可知，所以无论哪种情况，都有，从而可获得数列bn-an为等比数列进而可获得问题的解答；结合条件经分类讨论可知≥0，对于2≤k≤n，ak=ak-1，bk=从而an=an-1 =a1．由（1）即可获得问题的结论．
【解析】
：（1）若a1=-1，b1=1，满足若a1+b1≥0，则 a2=a1=-1，b2==0．
此时，a2+b2=-1＜0，a3==-，b3=b2=0．
此时 a3+b3=-＜0，a4==-．
综上可得，a2=-1，a3=-，a4=-．
（2）当≥0时，；
＜0时，，
所以无论哪种情况，都有．
因此，数列{bk-ak}是首相为b1-a1，公比为的等比数列，∴．
由b1＞b2＞＞bn（n≥2）时，bk≠bk-1（2≤k≤n），由上可知，不成立，
所以≥0，对于2≤k≤n，ak=ak-1，bk=，于是an=an-1 =a1，
由此可得，bk=a1+（b1-a1）•．
故=na1+（b1-a1）•（1++++…+）=na1+（b1-a1）•[2-]=（n-2）a1+2b1-（b1-a1）•．