Question

从椭圆+=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F₁，且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB平行于OM．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若b=2，设Q是椭圆上任意一点，F₂是右焦点，求△F₁QF₂的面积的最大值；
（Ⅲ）当QF₂⊥AB时，延长QF₂与椭圆交于另一点P，若△F₁PQ的面积为20（Q是椭圆上的点），求此椭圆的方程．

Answer

（Ⅰ）根据长轴端点A及短轴端点B的连线AB平行于OM，可得kOM=kAB，从而可得b=c，进而可求椭圆的离心率；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=c，所以c=2，表示出△F1QF2的面积，即可求出F1QF2的面积的最大值；
（Ⅲ）设椭圆方程为，与直线联立，表示出面积，利用△F1PQ的面积为20，即可求此椭圆的方程．
【解析】
（Ⅰ）由题意，，
因为长轴端点A及短轴端点B的连线AB平行于OM
所以kOM=kAB，所以，所以b=c
所以a2=2c2，
∴，
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=c，∵b=2，∴c=2
∴
∴△F1QF2的面积的最大值为4；
（Ⅲ）设椭圆方程为，与直线联立可得5x2-8bx+2b2=0．△=24b2＞0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
|PQ|=，F1到直线PQ的距离为
∴
∴b2=25，
∴a2=50，
∴椭圆方程为．