Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）证明数列{a_n-n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）令b_n=（-1）ⁿa_n，求数列{b_n}的前2n项和T_2n．

Answer

（Ⅰ）由已知可得an=4an-1-3（n-1）+1，则an-n=4an-1-4n+4=4[an-1-（n-1）]，即可证
（Ⅱ）由（I）可得，，利用分组求和，结合等差与等比数列的求和公式即可求解
（Ⅲ）由bn=（-1）nan=（-1）n[n+4n-1]，利用分组求和，结合等比数列的求和公式可求
（Ⅰ）证明：∵a1=2，∴a1-1=1
∵an+1=4an-3n+1，
∴an=4an-1-3（n-1）+1=4an-1-3n+4
∴an-n=4an-1-4n+4=4[an-1-（n-1）]
∴数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列
（Ⅱ）【解析】
由（I）可得，
∴

∴
（Ⅲ）【解析】
∵bn=（-1）nan=（-1）n[n+4n-1]
+（2+4）+…-（2n-1+42n-2）+（2n+42n-1）
=[-1+2-3+4+…-（2n-1）+2n]+（-1+4-42+43+…-42n-1+42n）
=×（-1）
∴