Question

对任意x∈R，给定区间[k-，k+]（k∈Z），设函数f（x）表示实数x与x的给定区间内整数之差的绝对值．
（1）写出f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=log_a，（＜a＜1），试证明：当x＞1时，f（x）＞g（x）；当0＜x＜1时，f（x）＜g（x）；
（3）求方程f（x）-log_a=0的实根，（＜a＜1）．

Answer

（1）根据条件函数f（x）表示实数x与x的给定区间内整数之差的绝对值，可知k为与x最近的一个整数，因此可以求得f（x）的解析式；
（2）要证当x＞1时，f（x）＞g（x）求出f（x），易证成立；当0＜x＜1时，分情况讨论，f（x）＜g（x）求出f（x），利用导数求函数H（x）=g（x）-f（x）=logax-（1-x），（＜x＜1）．的最小值即可证明结论；
（3）根据（2）易求1就是方程的实根．
【解析】
（1）当x∈[k-，k+]（k∈Z）时，由定义知：k为与x最近的一个整数，故
f（x）=|x-k|，x∈[k-，k+]（k∈Z）．
（2）①当x＞1时，|x-k|≥0＞logax，所以f（x）＞g（x）；
②当＜x＜1时，设H（x）=g（x）-f（x）=logax-（1-x），（＜x＜1）．
则H′（x）=•logae+1=+1＜+1=-+1＜0，
所以当＜x＜1时，H（x）为减函数，H（x）＞H（1）=0，故f（x）＜g（x）；
③当0＜x≤时，设G（x）=g（x）-f（x）=logax-x，
明显G（x）为减函数，G（x）≥G（）=H（）＞0，故f（x）＜g（x）．
另证：g（x）=logax＞loga=loga＞loga＞logaa==f（）＞f（x）．
（3）由（2），容易验证x=1为方程|x-k|-logax=0的实根，所以，若＜a＜1，方程f（x）-loga=0有且仅有一个实根，实根为1．