Question

已知函数．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线2x-y+1=0平行，求出这条切线的方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若对于任意的x∈（1，+∞），都有f（x）＜-2，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由，得切线斜率为k=f'（2）=2a+3，据题设，k=2，所以，故有，由此能求出切线方程．
（Ⅱ）由，知当a=0时，，由于x＞1，所以，由此能够讨论函数f（x）的单调区间．
（Ⅲ）当a≥0时，考查f（2）=4a+2≥2＞0，不合题意，舍；当a＜0时，由（Ⅱ）知．故只需，即．由此能求出实数a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ），
得切线斜率为k=f'（2）=2a+3，（2分）
据题设，k=2，所以，故有，（3分）
所以切线方程为y-f（2）=2（x-2），
即6x-3y-10=0，（4分）
（Ⅱ）
当a=0时，，
由于x＞1，所以，
可知函数f（x）在定义区间（1，+∞）上单调递增，（6分）
当a≠0时，，
若a＞0，则，
可知当x＞1时，有f'（x）＞0，
函数f（x）在定义区间（1，+∞）上单调递增，（8分）
若a＜0，则，
得当时，f'（x）＞0；
当时，f'（x）＜0．
所以，函数f（x）在区间上单调递增，
在区间上单调递减．
综上，当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间是定义区间（1，+∞）；
当a＜0时，函数f（x）的单调增区间为，减区间为，（10分）
（Ⅲ）当a≥0时，考查f（2）=4a+2≥2＞0，不合题意，舍；
当a＜0时，由（Ⅱ）知．
故只需，即．（11分）
令t=-a，则不等式为，且t＞0．
构造函数，
则，
知函数g（t）在区间（0，+∞）上单调递增．
因为g（1）=4ln1+3-2-1=0，所以当t＞1时，g（1）＞0，
这说明不等式的解为t＞1，即得a＜-1．
综上，实数a的取值范围是（-∞，-1）．（14分）