Question

“剪刀、石头、布”游戏的规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在话音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”．“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，而“布”又胜“石头”，如果所出的拳相同，则为和局．现甲乙二人通过“剪刀、石头、布”游戏进行比赛．
（Ⅰ） 设甲乙二人每局都随机出“剪刀”、“石头”、“布”中的某一个，求甲胜乙的概率；
（Ⅱ）据专家分析，乙有以下的出拳习惯：①第一局不出“剪刀”；②连续两局的出拳方法一定不一样，即如果本局出“剪刀”，则下局将不再出“剪刀”，而是选“石头”、“布”中的某一个．假设专家的分析是正确的，甲根据专家的分析出拳，保证每一局都不输给乙．在最多5局的比赛中，谁胜的局数多，谁获胜．游戏结束的条件是：一方胜3局或赛满5局，用X表示游戏结束时的游戏局数，求X的分布列和期望．

Answer

（Ⅰ）根据“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，而“布”又胜“石头”，可得甲胜乙的概率；
（Ⅱ）先求第一局甲胜的概率为，同理第二、第三、四、五局甲胜的概率也为，X的可能取值为3，4，5，求出相应的概率，即可得到X的分布列和期望．
【解析】
（Ⅰ）根据“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，而“布”又胜“石头”，可得甲胜乙的概率为P=
（Ⅱ）第一局乙不出“剪刀”，则只能出“石头”或“布”，此时甲应该出“布”，才能保证不输给乙，甲胜的概率为；不妨设乙第一局出的“石头”，则乙第二局只能出“剪刀”或“布”，此时甲应出“剪刀”，才能保证不输给乙，则甲胜的概率为；同理第三、四、五局甲胜的概率也为．
X的可能取值为3，4，5
，，
∴X的分布列为
X 3 4 5
P

故