Question

设函数的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11）．
（I）求a，b的值；
（II）如果函数g（x）=f（x）+c有三个不同零点，求c的取值范围．

Answer

（Ⅰ）函数在切点处的导数值为切线斜率，切点在切线上，列方程组可解；
（Ⅱ）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数的极值，要使函数g（x）=f（x）+c有三个不同零点，只需函数的极值异号，从而可得不等式，由此即可求得c的取值范围．
【解析】
（I）求导得f′（x）=3x2-6ax+3b．
由于f（x）的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11），
所以f（1）=-11，f′（1）=-12，即：，解得：a=1，b=-3．
（II）由a=1，b=-3得：g′（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3）
令g′（x）＞0，解得x＜-1或x＞3；令g′（x）＜0，解得-1＜x＜3．
故当x∈（-∞，-1）时，g（x）是增函数；当x∈（-1，3）时，g（x）是减函数；
当x∈（3，+∞）时，g（x）是增函数，
所以g（x）的极大值为5+c；g（x）的极小值为c-27
∵函数g（x）=f（x）+c有三个不同零点，∴（5+c）（c-27）＜0
∴-5＜c＜27
∴c的取值范围为（-5，27）．