Question

在四棱锥P-ABCD中，PC⊥面ABCD，DC∥AB，DC=1，AB=4，BC=，∠CBA=30°．
（I）求证：AC⊥PB；
（II）当PD=2时，求此四棱锥的体积．

Answer

（I）先在△ABC中，利用余弦定理，得出AC2+BC2=AB2，从而得出AC⊥BC，再结合PC⊥AC，而BC、PC是平面PBC内的相交直线，得到AC⊥平面PBC，最后根据线面垂直的定义，可证出AC⊥PB；
（II）过点C作CE⊥AB于E，在Rt△BCE中，利用三角函数的定义，得到CE=BC=，从而可得梯形ABCD的面积为．再结合PC⊥平面ABCD，在Rt△PCD中，利用勾股定理算出PC=，最后利用锥体的体积公式，得VP-ABCD=SABCD•PC=••=．
【解析】
（I）∵△ABC中，AB=4，BC=，∠CBA=30°，
∴根据余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2AB×BCcos∠CBA=4
∴AC2+BC2=4+12=16=AB2
∴AC⊥BC
又∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD
∴PC⊥AC
∵BC、PC是平面PBC内的相交直线
∴AC⊥平面PBC
∴结合BC⊂平面PBC，可得AC⊥BC
（II）过点C作CE⊥AB于E，
∵Rt△BCE中，BC=2，∠ECB=30°
∴CE=BC=
可得梯形ABCD的面积为：SABCD==
又∵PC⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD
∴PC⊥CD，Rt△PCD中，PC==
所以，根据锥体的体积公式，得VP-ABCD=SABCD•PC=••=，
即此四棱锥的体积的体积为．