Question

已知直线y=-x+1与椭圆相交于A、B两点，O为坐标原点，M为AB的中点．
（I）求证：直线AB与OM斜率的乘积等于e²-1（e为椭圆的离心率）；
（II）若时，求a的取值范围．

Answer

（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（），由A、B在椭圆b2x2+a2y2=a2b2上，得，两式相减，得，由此能够证明直线AB与OM斜率的乘积等于e2-1．
（Ⅱ）连接OA，OB，当2||=时，得，故x1x2+y1y2=0，由，得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0，由相交，得△=（-2a2）2-4a2（1-b2）（a2+b2）＞0，再由韦达定理结合题设条件能够求出a的取值范围．
（I）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（），
∵A、B在椭圆b2x2+a2y2=a2b2上，
故有，
两式相减，得，
∴
=-=-=e2-1．
（Ⅱ）【解析】
连接OA，OB，当2||=时，得，
∴（x1，y1）•（x2，y2）=0，
即x1x2+y1y2=0，
由，
得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0，
由相交，应有△=（-2a2）2-4a2（1-b2）（a2+b2）＞0，
化简为a2+b2＞1，
由韦达定理：，，
∴y1y2=（1-x1）（1-x2）
=1-（x1+x2）+x1x2
=
=，
∴a2-2a2b2+b2=0，
∵b2=a2-c2=a2-a2e2，代入上式，有
a2-2a2（a2-a2e2）+a2-a2e2=0，
∴，
∵，∴1＜，适合条件a2+b2＞1，
由此，得．