Question

已知斜率为1的直线l与双曲线相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．
（1）求双曲线C的离心率；
（2）若双曲线C的右焦点坐标为（3，0），则以双曲线的焦点为焦点，过直线g：x-y+9=0上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．

Answer

（Ⅰ）由题设知：l的方程为y=x+2，代入双曲线，得：（b2-a2）x2-4a2x-4a2-a2b2=0，设B（x1，y1），D（x2，y2），则，，由M（1，3）为BD的中点，知，由此能求出双曲线C的离心率．
（Ⅱ）双曲线的左、右焦点为F1（-3，0），F2（3，0），点F1关于直线g：x-y+9=0的对称点F的坐标为（-9，6），直线FF2的方程为x+2y-3=0，故交点M（-5，4）．由此能求出椭圆的方程．
（本小题满分12分）
【解析】
（Ⅰ）由题设知：l的方程为y=x+2，代入双曲线，并化简得：
（b2-a2）x2-4a2x-4a2-a2b2=0，（*）…（2分）
设B（x1，y1），D（x2，y2），则，，…（4分）
由M（1，3）为BD的中点，知，故，
即b2=3a2．故c=2a，∴e=2．…（6分）
（Ⅱ）双曲线的左、右焦点为F1（-3，0），F2（3，0），点F1关于直线g：x-y+9=0①
的对称点F的坐标为（-9，6），直线FF2的方程为x+2y-3=0，②…（8分）
解方程组①②得：交点M（-5，4），…（9分）
此时|MF1|+|MF2|最小，所求椭圆的长轴，
∴a=3，…（11分）
∵c=3，∴b2=36，故所求椭圆的方程为．…（12分）