Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n与a_n满足，其中b是与n无关的常数，且b≠-1．
（1）求a₁，a₂；
（2）求a_n和a_n-1的关系式；
（3）猜想用n和b表示a_n的表达式（须化简），并证明之．

Answer

（1）根据，分别将n=1、2代入，即可得到结论；
（2）n≥2时，，，两式相减，化简可得an和an-1的关系式；
（3）猜想．用数学归纳法证明猜想成立，证题时要利用到归纳假设．
【解析】
（1）由
当n=1时，，∴
当n=2时，，∴
（2）n≥2时，
∵，两式相减，化简可得
（3）由（1）得：；；
由得：；
猜想                       …（8分）
下面用数学归纳法证明猜想成立．
（i）当n=1时，，成立；
（ii）假设n=k时成立，即，
当n=k+1时，∵
∴==
所以，当n=k+1时也成立．…（12分）
由（i）（ii）可知，对一切自然数n都成立，即通项为：=…（14分）