Question

如图，从山脚下P处经过山腰N到山顶M拉一条电缆，PN的长为a米，NM的长为2a米，在P处测得M、N的仰角分别为45°，30°，在N处测得M的仰角为30°．
（1）求此山的高度；
（2）试求平面PMN与水平面所成角的余弦值．

Answer

（1）过M作MA垂直过P的水平面于A，过N作NB垂直过P的水平面于B，则MA∥NB，连接AB，PA，PM，PB，过N作NH⊥MA于H，可得：四凌锥P-ABNM的底面ABNM为直角梯形，从而可求山的高度；
（2）解法1：利用面积射影法，分别求得，
，从而可求平面PMN与水平面所成角的余弦值；
解法2：以A为原点AB、AM分别为y、z轴建立直角坐标系，求出平面MNP的一个法向量，水平面PAB的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求得平面PMN与水平面所成角的余弦值；
解法3：设直线MN与AB交于点C，连PC，过B作BD垂直于PC于点D，连ND．则∠NDB为所求二面角的平面角，可求得，从而可得平面PMN与水平面所成角的余弦值．
【解析】
（1）如图，过M作MA垂直过P的水平面于A，过N作NB垂直过P的水平面于B，则MA∥NB
连接AB，PA，PM，PB，过N作NH⊥MA于H，
依题意得：四凌锥P-ABNM的底面ABNM为直角梯形，∠NPB=30°，∠MPB=45°，∠MNH=30°，
∴
山高米         
（2）
解法1：设平面PMN与水平面所成角为θ，则
△MNP中，
∴，
∵△APB为直角三角形，∴
∴
解法2：以A为原点AB、AM分别为y、z轴建立直角坐标系，不妨设a=1，则

设平面MNP的一个法向量，则
即令x=1，解得
又水平面PAB的一个法向量，
设平面PMN与水平面所成角为θ，则=，
∴平面PMN与水平面所成角的余弦值为．
解法3：设直线MN与AB交于点C，连PC，过B作BD垂直于PC于点D，连ND．
则∠NDB为所求二面角的平面角                    
由MA∥NB，得，，
∴
∴平面PMN与水平面所成角的余弦值为．