Question

设函数f（x）=msinx+3cosx（x∈R），试分别解答下列两小题．
（ I）若函数f（x）的图象与直线y=n（n为常数）相邻两个交点的横坐标为，求函数y=f（x）的解析式，并写出函数f（x）的单调递增区间；
（ II）当时，在△ABC中，满足，且BC=1，若E为BC中点，试求AE的最大值．

Answer

（I）根据函数图象与y=n相邻的两交点的横坐标的值列出关系式，表示出m，利用和差化积公式化简后，再利用特殊角的三角函数值变形，求出m的值，确定出函数f（x）的解析式，由f（x）的解析式提取-6，然后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的图象与性质得到正弦函数的地增区间，列出关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为函数的递增区间；
（II）把m的值代入第一问化简得到的函数解析式中，根据f（A）=2，利用特殊角的三角函数值计算后求出A的度数，构造一个圆，弦BC所对的圆周角为∠A，点A在弦BC所对的优弧上运动，且不与B与C重合，可得出当△ABC为等腰三角形，AB=AC，且AE过圆心O时，此时AE最大，由E为BC的中点，由∠A的度数，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，求出∠BOC的度数，由OB=OC，得出三角形BOC为等边三角形，根据三线合一得到AE垂直于BC，在直角三角形OBE中，根据勾股定理求出OE的长，再由AO+OE即可求出此时AE的长，即为AE的最大值．
【解析】
（I）根据题意得：
msin+3cos=msin+3cos=n，
变形得：m===3，
∴f（x）=3sinx+3cosx=6sin（x+），
∵正弦函数的单调递增区间为[2kπ-，2kπ+]（k∈Z），
∴令2kπ-≤x+≤2kπ+（k∈Z），
解得：2kπ-≤x≤2kπ+（k∈Z），
则函数f（x）的递增区间为[2kπ-，2kπ+]（k∈Z）；
（II）把m=代入解析式得：f（x）=sinx+3cosx=2sin（x+），
∵f（A）=2，∴2sin（A+）=2，即sin（A+）=1，
又A为三角形的内角，∴A+=，即A=，又BC=1，
假设∠A为弦BC所对的圆周角，画出相应的图形，如图所示：

当△ABC为等腰三角形，AB=AC，且AE过圆心O时，此时AE最大，
∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=60°，又OB=OC，且BC=1，
∴△BOC为边长为1的等边三角形，
又E为BC的中点，∴BE=CE=BC=，且OE⊥BC，
在直角三角形BOE中，根据勾股定理得：OE==，
又OA=OB=1，∴AE=AO+OE=1+，
则AE的最大值为1+．