Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-kx（k∈R）
（Ⅰ）若f（x）的最大值为0，求k的值；
（Ⅱ）已知数列{a_n}满足a₁=1，．
（ⅰ）求证：a₁+a₂+a₃+…a_n＜2；
（ⅱ）是否存在n∈N^*，使得a_n∉（0，1]，若不存在，请给予证明；若存在，请求出n．

Answer

（Ⅰ）确定函数的定义域，求出导函数，再分类讨论：①当k≤0时，不满足题意（x可以取任意的正数）；②当k＞0，确定函数的单调性，利用f（x）的最大值为0，可求k的值；
（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，f（x）=ln（1+x）-x≤0，所以ln（1+x）≤x，从而可得，进一步可得，再利用等比数列的求和公式，即可得到结论；
（ⅱ）不存在，由（ⅰ）得，只需证明an＞0，用数学归纳法证明：an＞0对任意的正整数都成立即可．
（Ⅰ）【解析】
函数的定义域为（-1，+∞），（求出导数给1分）
①当k≤0时，令x=e-1，则f（e-1）=1-（e-1）k＞0不满足题意（x可以取任意的正数）…（3分）
②当k＞0，
令f′（x）＞0，∵x+1＞0，
∴f′（x）＞0，
∴-kx+（1-k）＞0，
∴
∴f（x）在上单调递增，在上单调递减．
∴，即，
∴k-lnk-1=0，
∴k=1（求出k=1…2分）
设g（x）=k-lnk-1，，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以k=1是唯一解．
综上所述k=1时，f（x）的最大值为0（说明唯一性1分）
（Ⅱ）（ⅰ）证明：由（Ⅰ）知，f（x）=ln（1+x）-x≤0，∴ln（1+x）≤x，
∴ln（1+an+1）≤an+1，∴
∴
∴，
即…（8分）
∴…（10分）
（ⅱ）不存在，…（11分）（如果探索后给出正确的结论给（1分），只给结论不得分）
由（ⅰ）得，只需证明an＞0
下面用数学归纳法证明：an＞0对任意的正整数都成立
①当n=1时，a1=1＞0（与后面的综上所述合起来1分）
②假设当n=k时，ak＞0，则n=k+1时，
构造函数，，
令，
∵1+x＞0，∴x＜1，∴h（x）在（-1，1）上单调递增，
∵0＜ak≤1，ak+1=h（ak）=
∴n=k+1时，ak+1＞0
综合①②对任意的n∈N*，an＞0都成立．
（从n=k到n=k+1说清楚给2分）
综上，对任意的n∈N*，an∈（0，1]都成立．
∴不存在n∈N*，使得an∉（0，1]．