Question

已知动点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1个单位长度．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过点F任意作互相垂直的两条直线l₁，l₂，分别交曲线C于点A、B和M、N，设线段AB、MN的中点分别为P、Q，求证：直线PQ恒过一个定点．

Answer

（1）设动点M的坐标为（x，y），根据动点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1个单位长度，建立方程，化简可得点M的轨迹C的方程；
（2）设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则点P的坐标为（， ），可设直线l1的方程为y=k（x-1）（k≠0），与抛物线方程联立，利用韦达定理可求点P的坐标为（1+，），同理可得点的坐标为（1+2k2，-2k），进而可确定直线PQ的方程，即可得到结论．
（1）【解析】
设动点M的坐标为（x，y），
由题意，∵动点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1个单位长度
∴
化简得y2=4x，
所以点M的轨迹C的方程为y2=4x．
（2）证明：设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则点P的坐标为（， ）．
由题意可设直线l1的方程为y=k（x-1）（k≠0），
由得k2x2-（2k2+4）x+k2=0．
△=（2k2+4）2-4k4=16k2+16＞0，x1+x2=2+，y1+y2=k（x1+x2-2）=．
所以点P的坐标为（1+，）．
由题知，直线l2的斜率为-，同理可得点的坐标为（1+2k2，-2k）．
当k≠±1时，有1+≠1+2k2，此时直线PQ的斜率kPQ=．
所以，直线PQ的方程为y+2k= （x-1-2k2），
整理得yk2+（x-3）k-y=0，于是，直线PQ恒过定点E（3，0）；
当k=±1时，直线PQ的方程为x=3，也过点E（3，0）．
综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）．