Question

（1）已知数列{a_n}为等比数列，公比为q，S_n为前n项和，试推导公式S_n=；
（2）已知数列{a_n}的前n项和S_n．满足：S_n=n²-n（n∈N^*），又数列{b_n}满足：a_n+log₃n=log₃b_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）由于Sn=a1+a1q++…+ ①，故当q=1时，Sn=n a1．当q≠1时，qSn=a1q++…+ ②，两式相减求得Sn的解析式．
（2）根据 an 与 Sn 的关系求出 an，再由an+log3n=log3bn，及对对数的运算性质求出bn=n32（n-1）．用错位相减法求出数列{bn}的前n项和Tn ．
（1）【解析】
已知数列{an}为等比数列，公比为q，Sn为前n项和，故Sn=a1+a1q++…+ ①．
当q=1时，Sn=n a1．
当q≠1时，qSn=a1q++…+ ②．
①-②可得 （1-q）Sn=a1-=a1（1-qn），
∴Sn= （q≠1）．
综上可得 ．
（2）【解析】
Sn=n2-n（n∈N*），
∴a1=s1=0，n≥2时，an=Sn-sn-1=2（n-1）．
综上可得 an=2（n-1）．
又数列{bn}满足：an+log3n=log3bn，∴log3bn -log3n=an=2（n-1），
∴=32（n-1），bn=n×32（n-1）．
故数列{bn}的前n项和Tn =1×3+2×32+3×34+…+n32（n-1），
故9Tn =1×32+2×34+3×36+…+（n-1）32（n-1）+n 32n，
相减可得-8 Tn =1+32+34+…+32（n-1）-n 32n=-n 32n，
∴Tn =．