Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a，AD=b，AA₁=c，其外接球球心为点O，外接球体积为，A、C两点的球面距离为，则的最小值为    ．

Answer

利用长方体三边长求出球半径求出球的半径，通过球面距离求出球心角，通过基本不等式，求出表达式的最小值．
【解析】
∵外接球体积为，∴R=2，
球的直径即为长方体的对角线长，
即2R=，
A、B两点在该球面上的球面距离为，
在等腰三角形OAC中，OA=OC=R=2
球心角∠AOC=，AC=，
∴a2+b2=12，
=
=
≥
=．当且仅当b=2a时取等号．
故答案为：．