Question

已知正数数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a_n²=S_n+S_n-1（n≥2），a₁=1．
（I）求证：数列{a_n}为等差数列，并求出通项公式；
（II）设b_n=（1-a_n）²-a（1-a_n），若b_n+1＞b_n对任意n∈N^*恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（I）由 an2=Sn+Sn-1（n≥2），可得 （n≥3）．两式相减可得 an -an-1=1，再由a1=1，可得{an}的通项公式．
（II）根据{an}的通项公式化简bn和bn+1，由题意可得bn+1-bn=2n+a-1＞0恒成立，故a＞1-2n恒成立，而1-2n的最大值为-1，从而求得实数a的取值范围．
【解析】
（I）证明：∵an2=Sn+Sn-1（n≥2），∴ （n≥3）．
两式相减可得an2 -=Sn-sn-2=an +an-1，∴an -an-1=1，
再由a1=1，可得an=n．
（II）∵bn=（1-an）2-a（1-an），
∴bn+1=-a（1-an+1）．
即bn=（1-n）2-a（1-n）=n2+（a-2）n+1-a，bn+1=[1-（n+1）]2-a[1-（n+1）]=n2+an．
故bn+1-bn=2n+a-1，
再由bn+1＞bn对任意n∈N*恒成立可得2n+a-1＞0恒成立，故a＞1-2n恒成立．
而1-2n的最大值为1-2=-1，故a＞-1，
即实数a的取值范围（-1，+∞）．