Question

已知双曲线M：和双曲线N：，其中b＞a＞0，且双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线M的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

根据双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，得交点坐标为：（c，c），其中c是两个双曲线公共的半焦距．将点（c，c）代入双曲线M（或双曲线N）的方程，结合b2=c2-a2化简整理，得e4-3e2+1=0，解之得e2==（）2，从而得到双曲线M的离心率e=．
【解析】
∵双曲线M方程为：，双曲线N方程为：，其中b＞a＞0，
∴两个双曲线的焦距相等，设为个焦距为2c，其中c满足：
∵双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，
∴交点坐标为：（c，c），代入双曲线M（或双曲线N）的方程，得
，结合b2=c2-a2得：，
去分母，得c2（c2-a2）-a2c2=a2（c2-a2），
整理，得c4-3a2c4+a4=0，所以e4-3e2+1=0，解之得e2==（）2（另一值小于1舍去）
∴双曲线M的离心率e=
故选A