Question

已知函数f（x）=ln（x+2）-x²+bx+c．在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，且f（-1）=0，求函数f（x）在区间[0，3]上的最小值．

Answer

与直线3x+7y+2=0垂直的直线的斜率为，令，得b=4，又f（-1）=ln（2-1）-1-4+c=0，所以c=5，，由f′（x）=0，得x=，由此能求出以f（x）在[0，3]最小值．
【解析】
与直线3x+7y+2=0垂直的直线的斜率为，
令，得b=4，
∵f（-1）=ln（2-1）-1-4+c=0，
∴c=5，，
由f′（x）=0，得x=，
当时，f′（x）≥0，f（x）单调递增；
当时，f′（x）≤0，f（x）单调递减．
∵f（0）=ln2+5，f（3）=ln5+8，
所以f（x）在[0，3]最小值为ln2+5．