Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：①当x＞0时，f（x）＞1，②∀x、y∈R，f（x+y）=f（x） f（y）．数列{a_n}满足①a₁=1，②f（a_n+1）=f（a_n） f（1），（n∈N^*），…+（-1）ⁿ，则T₁₀₀等于（ ）
A．4900
B．-4900
C．5050
D．-5050

Answer

先根据抽象函数的性质，证明出函数f（x）在R上是单调递增函数．从而f（an+1）=f（an） f（1）=f（an+1），所以an+1=an+1，判断出数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，通项公式为an=n．再利用分组求和法求和即可．
【解析】
对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）•f（y），
可令x=1，y=0 可得 f（0+1）=f（0）．f（1）
因为x＞0时，有0＜f（x）＜1，故f（1）＞0
所以 f（0）=1
再取x=-y，可得f（0）=f（-y+y）=f（-y）•f（y）=1
所以f（-y）=，同理以f（-x）=
当x＜0时，-x＞0，根据已知条件得f（-x）＞1，即＞1，
变形得0＜f（x）＜1．
综上所述任意x∈R，f（x）＞0．
设任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2-x1＞0，f（x2-x1）=f（x2）f（-x1）=＞1，f（x2）＞f（x1）
所以函数f（x）在R上是单调递增函数．
f（an+1）=f（an） f（1）=f（an+1），所以an+1=an+1，数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，通项公式为an=n．
=3+7+…+199==5050．
故选C．