Question

已知两点A（-2，0）、B（2，0），动点P满足．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）H是曲线E与y轴正半轴的交点，曲线E上是否存在两点M、N，使得△HMN是以H为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设点P的坐标为（x，y）（y≠0），求PA、PB的斜率，利用，化简可得动点P的轨迹E的方程；
（2）设能构成等腰直角三角形HMN，其中H为（0，1），由题意可知，直角边HM，HN不可能垂直或平行于x轴，故可设HM所在直线的方程为y=kx+1，（不妨设k＞0）则HN所在直线的方程为，确定交点M、N的坐标，求出HN、HM的长，利用|HM|=|HN|，即可求得结论．
【解析】
（1）设点P的坐标为（x，y）（y≠0），则，，
∵，∴，化简得，
∴动点P的轨迹E的方程为（y≠0）．注：如果未说明y≠0，扣（1分）．
（2）设能构成等腰直角三角形HMN，其中H为（0，1），
由题意可知，直角边HM，HN不可能垂直或平行于x轴，故可设HM所在直线的方程为y=kx+1，（不妨设k＞0）
则HN所在直线的方程为，由求得交点M，（另一交点H（0，1））
∴，
用代替上式中的k，得，
由|HM|=|HN|，得k（4+k2）=1+4k2，
∴k3-4k2+4k-1=0⇒（k-1）（k2-3k+1）=0，
解得：k=1或，
当HM斜率k=1时，HN斜率-1；当HM斜率时，HN斜率；当HM斜率时，HN斜率，
综上述，符合条件的三角形有3个．